Ав общая касательная к двум касающимся окружностям

дЧЕ ПЛТХЦОПУФЙ ТБДЙХУПЧ R Й r ( R > r ) ЛБУБАФУС ЧОЕЫОЕ Ч ФПЮЛЕ C . л ОЙН РТПЧЕДЕОБ ПВЭБС ЧОЕЫОСС ЛБУБФЕМШОБС AB , ЗДЕ A Й B — ФПЮЛЙ ЛБУБОЙС. оБКДЙФЕ УФПТПОЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC .

рПДУЛБЪЛБ

пРХУФЙФЕ РЕТРЕОДЙЛХМСТ ЙЪ ГЕОФТБ НЕОШЫЕК ПЛТХЦОПУФЙ ОБ ТБДЙХУ ВПМШЫЕК, РТПЧЕДЕООЩК Ч ФПЮЛХ ЛБУБОЙС У ПВЭЕК ЧОЕЫОЕК ЛБУБФЕМШОПК. оБКДЙФЕ УФПТПОЩ Й ЛПУЙОХУ ПУФТПЗП ХЗМБ РПМХЮЙЧЫЕЗПУС РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ O 1 Й O 2 — ГЕОФТЩ ПЛТХЦОПУФЕК ТБДЙХУПЧ r Й R , A — ФПЮЛБ ОБ РЕТЧПК ПЛТХЦОПУФЙ, B — ОБ ЧФПТПК, K — РТПЕЛГЙС ФПЮЛЙ O 1 ОБ BO 2 . фПЗДБ

пВПЪОБЮЙН ABC = BO 2 C = . фПЗДБ

рПУЛПМШЛХ ФТЕХЗПМШОЙЛ ACB — РТСНПХЗПМШОЩК ( C = 90 o ), ФП

бОБМПЗЙЮОП ОБИПДЙН AC .

пФЧЕФ

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй&nbsp— в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Обозначим центры окружностей O₁ и O₂ соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, Пусть , тогда

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, то есть S_AKB = 4S. Аналогично, S_CKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O₂HO₁:

Тогда

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и S_AKB = 4S = 3,2.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Ответ:

АВ = 24 см.

Объяснение:

Пусть даны касающиеся окружности с центрами О и J и радиусами ОА и JB соответственно. Радиусы в точках касания перпендикулярны касательной. Следовательно OABJ — прямоугольная трапеция с основаниями ОА и JB. Проведем ВР параллельно прямой OJ.

ВР = OJ = R1+R2 = 25 см. АP = ОА-JB = 16-9 = 7cм.

Тогда в прямоугольном треугольнике АВP катет АВ по Пифагору равен АВ = √(25²-7²) = √576 = 24 см.